Tanım: Bir X değişkeninin değerlerinin giderek bir sayıya yaklaştırılması. Örneğin x değişkeninin değeri 8 sayısına 8.5>8.4>8.3>8.2>8.1>8.01>8.001>....>8 şeklinde veya 7.5>7.6>7.7>7.8>7.9>7.99>7.999>....>8 yaklaştırılabilir. Yaklaşma ifadesi \(x\to8\) şeklinde gösterilir

Tanım: Bir X değişkeninin değerlerinin giderek artırarak bir sayıya yaklaştırılması. Örneği x değişkeninin değeri 8 sayısına 7.5>7.6>7.7>7.8>7.9>7.99>7.9999>....>8 şeklinde soldan yaklaştırılabilir. Sayı doğrusunda büyük sayılar solda olmasından dolayı soldan yaklaşma adı verilmektedir. Soldan yaklaşma \(x\to8^-\) şeklinde gösterilmektedi

Tanım: Bir X değişkeninin değerlerinin giderek azaltarak bir sayıya yaklaştırılması. Örneği x değişkeninin değeri 8 sayısına 8.5>8.4>8.3>8.2>8.1>8.01>8.001>....>8 şeklinde sağdan yaklaştırılabilir. Sayı doğrusunda büyük sayılar sağda olmasından dolayı sağdan yaklaşma adı verilmektedir. Sağdan yaklaşma \(x\to8^+\) şeklinde gösterilir

Bir X değişkeni bir a sayısına , X değeri giderek azaltılarak veya artırılarak yaklaşılabilir. Örneğin a sayısı 8 olsun. X değerini sırası ile 8.5>8.4>8.3>8.2>8.1>8.01>8.001>....>8 şeklinde 8 sayısına yaklaşabilir. Ters olarak 7.5>7.6>7.7>7.8>7.9>7.99>7.9999>....>8 şeklinde yaklaşılabilir. İlk yaklaşma sağdan, ikinci yaklaşma ise soldan yaklaşma olarak adlandırılır

\(\frac{x^2}2\) fonkisyonu için
x=3.8 için değeri 7.22
x=3.9 için değeri 7.605
X=3.99 için değeri 7.9996
Soldan yaklaşıldığında değer 8 e yaklaşmaktadır
x=4.2 için değeri 8.82
x=4.1 için değeri 8.405
x=4.001 için değer 8.004001
Sağdan yaklaşıldığı zamanda değer 8'e yaklaşmaktadır

x+1 fonksiyonunda X değeri 0'a soldan ve sağdan yaklaştırıldığında aşağıdaki gibi 1 e yaklaşmaktadır Soldan yaklaşıldığında : x=-0,5 için 0,5 x=-0,2 için 0,8 x=-0,1 için 0,9 x=-0,01 için 0,99 Sağdan yaklaşıldığında : x=0,5 için 1,5 x=0,2 için 1,2 x=0,1 için 1,1 x=0,01 için 1,01 Görüldüğü gibi soldan ve sağdan yaklaşıldığında fonksiyon 1'e yaklaşmaktadır

2x+1 fonksiyonu için soldan yaklaşılması:
x=2,9 için 4,8
x=2,95 için 4,9
x=2,99 için 4,98
x=2,999 için 4,998
2x+1 fonksiyonu için sağdan yaklaşılması:
x=3,1 için 5,2
x=3,05 için 5,1
x=3,01 için 5,02
x=3,001 için 5,002
Görüldüğü gibi fonksiyon 5'e yaklaşmaktadır

Tanım: Bir fonksiyon için, x değişkeni bir a sayısına, a sayısından küçük sayılarla yaklaşırken, f(x) değeri bir L değerine yaklaşıyor ise, f(x) fonksiyonun a noktasındaki soldan limiti L'dir. Soldan limit \(\lim_{x \to a^-}f(x)=L\) şeklinde gösterilmektedir

Tanım: Bir fonksiyon için, x değişkeni bir a sayısına, a sayısından büyük sayılarla yaklaşırken, f(x) değeri bir L değerine yaklaşıyor ise, f(x) fonksiyonun a noktasındaki sağdan limiti L'dir. Sağdan limit \(\lim_{x \to a^+}f(x)=L\) şeklinde gösterilmektedir

Tanım: Bir fonksiyon için, x değişkeni bir a sayısına, soldan ve sağdan yaklaşırken, f(x) değeri aynı L değerine yaklaşıyor ise, f(x) fonksiyonun a noktasındaki limiti L'dir. Limitin olması için soldan ve sağdan limiti tanımlı olmalı ve birbirine eşit olmalıdır. Limit \(\lim_{x \to a}f(x)=L\) şeklinde gösterilmektedir ve f(x) fonksiyonun a noktasındaki limitinin L olduğu belirtilmiş olunur. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti tek değerdir iki değeri olamaz.

\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) fonksiyonunun x=1 noktası için limiti 2'dir. Şu şekilde bulunabilir:
\[
\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1
\]
x=1 e yaklaştığında f(x) değeri 2 ye yaklaşır. x yerine 1 koyulduğunda değerin 2 olduğu görülebilir. 1 sayısına soldan ve sağdan yaklaşılırsa da sonucun 2'ye yaklaştığı görülebilir

Limit ifadeler ile ilgili toplam için aşağıdaki kural geçerlidir:\[ \lim_{x \to a}{f(x)}+\lim_{x \to a}{g(x)}=\lim_{x \to a}{(f(x)+g(x))} \]

Limit ifadeler ile ilgili çıkarma için aşağıdaki kural geçerlidir:\[ \lim_{x \to a}{f(x)}-\lim_{x \to a}{g(x)}=\lim_{x \to a}{(f(x)-g(x))} \]

Limit ifadeler ile ilgili çarpma için aşağıdaki kural geçerlidir:\[
\lim_{x \to a}{f(x)} \cdot \lim_{x \to a}{g(x)}=\lim_{x \to a}{(f(x) \cdot g(x))}
\]

Limit ifadeler ile ilgili bölme için aşağıdaki kural geçerlidir:\[
\lim_{x \to a}{f(x)} \div \lim_{x \to a}{g(x)}=\lim_{x \to a}{(f(x) \div g(x))}
\]

Limit ifadelerinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemi için aşağıdaki kurallar geçerlidir:

• \(\lim_{x \to a}{f(x)} + \lim_{x \to a}{g(x)}=\lim_{x \to a}{(f(x) + g(x))}\)
• \(\lim_{x \to a}{f(x)} - \lim_{x \to a}{g(x)}=\lim_{x \to a}{(f(x) - g(x))}\)
• \(\lim_{x \to a}{f(x)} \cdot \lim_{x \to a}{g(x)}=\lim_{x \to a}{(f(x) \cdot g(x))}\)
• \(\lim_{x \to a}{f(x)} \div \lim_{x \to a}{g(x)}=\lim_{x \to a}{(f(x) \div g(x))}\)

Limit ifadelerinde fonksiyonun çarpıldığı sabit sayı limit ifadesinin başına alınabilir\[
\lim_{x \to a}{a \cdot f(x)} = a \cdot lim_{x \to a}{f(x)}
\]

Limit ifadelerinde fonksiyonun mutlak değer içinde ise limit mutlak değer içine alınabilir\[
\lim_{x \to a}{\left|{f(x)}\right|} = \left|lim_{x \to a}{f(x)}\right|
\]

Limit ifadelerinde fonksiyonun kök ifadesi var ise kök ifadesi kaldırılıp limit kök içine alınabilir:\[ \lim_{x \to a}{\sqrt{f(x)}} = \sqrt{lim_{x \to a}{(f(x)}} \]

Limit ifadelerinde fonksiyon log içinde ise log kaldırılıp limit ifadesi log içine alınabilir :\[
\lim_{x \to a}{\log({f(x)})} = \log({lim_{x \to a}{(f(x)}})
\]

Limit ifadelerinde fonksiyon bir sayının üstünde ise limit ifadesi o sayının üstüne alınabilir :\[
\lim_{x \to a}{3^{f(x)}} = 3^{lim_{x \to a}{f(x)}}
\]

Sabit bir sayının x=a noktasındaki limiti sayının kendisidir :
\[
\lim_{x \to a}3 = 3
\]

\(a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + ... + a_0 \) şeklindeki bir polinomun a noktasındaki limiti X yerine a sayısı koyularak bulunur. Örneğin a=3 için bir polinomun limiti :\[
\lim_{x \to 3}{(2X^2 + X + 1)}\\
2\cdot{3^2}+3+1\\
2\cdot9+4\\
22
\]

Tanım: \(\lim_{x \to a}{f(x)} = \lim_{x \to a}{g(x)}\) = L ise ve a sayısına yakın tüm değerler için \(f(x) \leq h(x) \leq g(x)\) şeklinde bir h(x) var ise \(\lim_{x \to a}{h(x)} = L\)dir

Parçalı fonksiyonların limiti, hangi sayıya göre limit alındığına göre farklı bulunmaktadır.
Örneğin parçalı fonksiyonda x>3 için h(x), x<=3 için g(x) limitine bakılabilir. Örneğin 1 için sadece h(x)'in limitine, 5 için sadece g(x) limitine bakmak yeterlidir. 3 noktasındaki limit için ise hem h(x) hem de g(x) in limitine bakılmalı ve bu iki limit değerinin de aynı olması gerekmektedir.
\[
f(x)=
\begin{cases}
h(x), x > b \\
g(x), x <= b
\end{cases}\\
\\
a > b \text{ ise} \lim_{x \to a}{f(x)} = \lim_{x \to a}{h(x)}\\
a < b \text{ ise} \lim_{x \to a}{f(x)} = \lim_{x \to a}{g(x)}\\
a = b \text{ ise} \lim_{x \to a}{h(x)} = L_1 \text{ ve } \lim_{x \to a}{g(x)} = L_2 \text{ ve eğer } L_1=L_2 \text{ ise} \\
\lim_{x \to a}{f(x)}=L_1=L_2
\]

Polinomun sonsuzda limit değeri, ilk elemanın limit değerine bağlıdır :\(\lim_{x \to \mp\infty}{(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} ... + a_1x + a_0)} = \lim_{x \to \mp\infty}{a_nx^n}\)

Trigonometrik bazı fonksiyonların limitleri aşağıdaki gibidir. Aşağıdaki örneklerde a değeri radyan olarak verilmelidir.\[
\lim_{x \to a}{sinx} = sina\\
\lim_{x \to a}{cosx} = cosa \\
\lim_{x \to a}{tanx} = tana (cosa \neq 0 \text{ ve } a \neq \frac{\pi}2+k\pi) \\
\lim_{x \to a}{cotx} = cota (sina \neq 0 \text{ ve } a \neq k\pi) \\
\]

sinx/x in 0 değerindeki limiti 1'dir :\[ lim_{x \to 0}{sinx/x} = 1 \]

Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti ile o noktadaki değeri farklı olabilir. Fonksiyon aşağıdaki gibi olsun :\[
f(x)={x^2-1}/(x-1)
\]Fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir :görüldüğü gibi x=1 deki değer tanımsızdır ve yoktur. Ancak bu fonksiyonun 1'deki limiti 2'dir. Çünkü x 1'e soldan ve sağdan yaklaştıkça değer 2 ye yaklaşır. Fonsiyonun 1'deki değerin 2 olup olmamasının bir önemi yoktur.
Bu sefer aşağıdaki gibi bir fonksiyon olsun. x=1 de değeri 3 olarak verilsin. :\[
f(x)=\begin{cases}
{x^2-1}/(x-1) | x \ne 1 \\
3 | x=1 \\
\end{cases}
\]bu fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olacaktır :
Görüldüğü gibi fonksiyonun x=1 için değeri fonksiyonun 3 iken limiti 2 dir.

f(x)/g(x) şeklinde olan ve bir a noktasında f ve g fonksiyonlarının 0 değeri aldığı durumda limit 0/0 olmasından dolayı belirsizdir ve yoktur:\[
lim_{x \to a}{f(x)/g(x)}
\]Eğer f(x) ve g(x) çarpanlarına ayrılabiliyor ise her iki tarafta (x-a) çarpanına ayrılarak (x-a) nın götürülmesi sağlanır. Bu şekilde belirsizlik giderilir ve limit bulunur. Örneğin aşağıdaki fonksiyonun 1 noktasındaki limitini bulalım.\[
f(x)={x^2-1}/(x-1)
\]x=1 koyulunca 0/0 belirsizliği oluşur. Çarpanlarına ayıralım ve sadeleştirme yapalım:\[
x^2-1/(x-1) \\
(x-1)(x+1)/(x-1) \\
x+1\\
\]Artık x+1'in limitini alabiliriz :\[
lim_{x \to 1}{x^2-1/(x-1)} \\
x+1 = 1 + 1 = 2
\]
Görüldüğü gibi belirsizlik giderildikten sonra limit bulunabilmiştir.

Limitin Genişletilmiş Gerçek Sayılar Kümesinde (gerçek sayılar kümesine + ve - sonsuz eklenen küme) nasıl davrandığı ayrı bir şekilde incelenir.
Eğer bir x değeri sürekli artırılıyorsa ve sonu gelmiyorsa :\[
x\to+\infty
\]Eğer bir değer sürekli azalıyor ve sonu gelmiyorsa:\[
x\to-\infty
\]şeklinde gösterilir.
Örneğin 1/x fonskiyonunda x artıkça ve sonsuza gittikçe fonksiyonun değeri 0'a yaklaşır. Yine x azaldıkça ve sonsuza gittikçe fonksiyonun değeri 0'a yaklaşır. Bu nedenle x , + ve - sonsuza giderken limit 0'dır :\[
lim_{x \to +\infty}{1/x} = 0\\
lim_{x \to -\infty}{1/x} = 0\\
\]Eğer x 0'a sağdan yaklaşırsa fonksiyonun değeri + sonsuza gitmektedir. Soldan yaklaşıldığında ise fonksiyonun değeri - sonsuza gitmektedir.\[
lim_{x \to 0^+}{1/x} = +\infty\\
lim_{x \to 0^-}{1/x} = -\infty\\
\]

Limitlerde f(x)/g(x) şeklindeki fonksiyonlarda x sonsuza giderken alt ve üsteki değerlerde sonsuza gidiyor olabilir. Bu durumda aşağıdaki belirsizlik oluşur :\[
\pm\infty/\infty
\]Eğer f(x) ve g(x) bir polinom ise en yüksek dereceli olan terimlerin katsayılarının oranı limit olur. Örneğin :\[
lim_{x \to \infty}{(3x^2+8x+1)/(5x^2+3x+2)}=3/5
\]Görüldüğü gibi ikinci dereceden terimin katsayılarının oranı limit olmuştur.
Payın derecesi paydadan büyükse limit \(\pm\infty\) olur. Örneğin\[
lim_{x \to \infty}{(3x^4+8x+1)/(5x^2+3x+2)}=\infty
\]Görüldüğü gibi üsteki polinomun derecesi 4 ve alttaki polinomun derecesinden fazla.
Eğer payın derecesi daha büyükse limit 0'dır.\[
lim_{x \to \infty}{(3x^2+8x+1)/(5x^4+3x+2)}=0
\]

\[
\lim_{x \to a}{f(x)}= L \\
\lim_{x \to a}{f(x)}= M
\]olsun. İfadeden de anlaşılabileceği gibi aynı fonksiyonların aynı noktalar için iki farklı limit değerinin olduğunu kabul edelim ve bunu

L ≠  M

Eşitliği ile gösterelim. Öyle ki limit tanımını kullanarak şu iki bağıntıyı yazabiliriz.\[
0 < | x - a | < δ1 ⇒ | f(x) - L | < ε \\
0 < | x - a | < δ 2 ⇒ | f(x) - M | < ε
\]Yukarıdaki bu iki ifadenin gerçekliği limit tanımından yola çıkarak yapılmıştır.
Şimdi kabülümüze göre L ≠ M olduğundan öyle ki\[
0 < | L - M |
\]olduğu apaçıktır. Çünkü L ve M farklı değerlere sahipse farklarının mutlağı mutlaka sıfırdan büyük olmalıdır. Şimdi ispatımızı yapabilmemiz için benzetme ve üçgen eşitsizliği yapmamız gerekecek
| L - M | ifadesinde mutlağın içine f(x) ekler ve çıkartırsak sonucun değişmeyeceği apaçıktır.
0 < | L - M + f(x) - f(x) | ise üçgen gruplandırma yaparak şöyle bir üçgen eşitsizliği kurabiliriz.\[
0 < | L - M | \\
| L - M + f(x) - f(x) | ≤ | f(x) - L | + | f(x) - M | < ε + ε = 2ε
\]Kurduğumuz bu eşitlikte ε larımızı sıfıra çok ama çok yakın noktalarda seçebiliriz. Öyle ki seçeceğimiz ε lar sıfıra çok yakın değerler olduğunda yukarıdaki üçgen eşitsizliği aşağıdaki gibi bir ifadeye benzeyecektir.\[
0 < | L - M | ≤ 0
\]
| L - M | ifadesi hem sıfırdan büyük hem de sıfırdan küçük olabiliyorsa sıkıştırma teoremini kullanarak | L - M | ifadesi 0'a eşittir deriz.
| L - M | = 0 ise L = M dir.
Lakin problemi cevaplandırırken L ≠ M olduğunu kabul etmiştik.
Sonuç: Çelişki
Sonuç: Limit değeri yeganedir

Limitin matematiksel bir yöntemle tanımı da yapılabilmektedir. Bunun için epsilon ve delta adı verilen değişken kullanılmaktadır.
Her \(\epsilon\) değeri için en az bir \(\delta\) varsa ve aşağıdaki koşul sağlanıyorsa\[
|x−a|<\delta\\
|f(x)−L|<\epsilon
\]L değeri f(x) fonksiyonun a noktasındaki limitidir ve aşağıdaki gibi gösterilir :\[
\lim_{x \to a}{f(x)}= L
\]

\[
\lim_{x \to ∞}{f(x)}= L
\]olsun. Bu ifade için aşağıdaki gibi bir epsilon - delta tanımı mevcuttur.\[
ꓯε > 0, ꓱδ ∈ IR : x > δ ⇒ | f(x) - L | < ε
\]

Örnek

\[
\lim_{x \to ∞}{ (3x + 7) / (2x -1) }= 3 / 2
\]olduğunu ispatlayınız.

İspat

\[
ꓯε > 0, ꓱδ ∈ IR : x > δ ⇒ | f(x) - L | < ε\\
| (3x + 7) / (2x -1) - (3/2) | < ε \\
| 2x - 1| > (17 / 2 ε )
2x - 1 > (17 / 2 ε )\\
x > ( 17 + 2 ε ) / 4 ε\\
\]
İspat Tamamlandı.

Eğer bir a noktasında bir fonskiyonun değeri ile limiti eşit ise fonksiyon a noktasında süreklidir denir. Süreklilikten kastedilen a'ya soldan ve sağdan yaklaşıldığında kesinti olmadan a değerinde birleşilir.\[
lim_{x \to a}{f(x)} = f(a)
\]şeklinde gösterilebilir.
Eğer sadece sağdan limit fonksiyonun a noktasındaki değerine eşitse sağdan süreklilik, eğer soldan limit fonksiyonun a noktasındaki değere eşitse soldan süreklilik adı verilir.
Soldan süreklilik :\[
lim_{x \to a^-}{f(x)} = f(a)
\]Sağdan süreklilik :\[
lim_{x \to a^+}{f(x)} = f(a)
\]

Bu çalışmanın amacı lisans öğrencilerinin limit tanımını nasıl yorumladıklarını ortaya çıkarmaktır. Bu amaçla öğrencilerin limitin formel tanımına yönelik anlayışları detaylı bir şekilde irdelenmiştir.

Öncelikle limit sözcüğünün sözcük anlamı ile matematikteki limit kavramı aynı şey değildir. Sözlük anlamında limit bir değerin aşamayacağı sınırı belirtir. Halbuki matematikteki limit, bir fonksiyonun bir noktada aşamayacağı bir sınırı veya yaklaşamayacağı bir noktayı belirtmesi gerekmiyor. Farklı bir anlamı var.
Örneğin en basit fonksiyon f(x)=x (veya y=x şeklinde de yazabiliriz) düşünelim. x=2 noktasında limit 2'dir. Ancak f(x) fonksiyonunun 2'e yaklaşamadığı veya 2'nin bir sınır olduğu gibi durum yok ortada. Fonksiyon 1, 1.9, 1.99 şeklinde gelip 2 değerini alıp 2.1, 2.2, .. şeklinde yoluna devam ediyor. Ortada fonksiyon açısından ne bir sınır var ne de yaklaşamadığı bir yer.
Bir değişkenimiz olsun. Değişkenin değeri bir sayının sonsuz küçük yakınına kadar yaklaştırınca o değişkene bağlı olan değişken veya fonksiyonun değeri nereye yaklaşıyor ? Veya hiç bir yere yaklaşmıyor mu ? İşte matematikte limit konusu bu sorunun cevabını arar. Değişken bir sayıya değil - ve + sonsuza yaklaşırken de fonksiyonun nasıl davrandığı yine limit ile öğrenilir.
Örneğin yukarıdaki fonksiyon için (f(x)=x) x değerini 2 sayısına sonsuz küçük olacak şekilde yaklaştırabiliriz. Sonsuz küçük yaklaştırdıktan sonra fonksiyonun değerine bakarız. Sonsuz küçüğün daha küçüğü her zaman vardır. Örneğin sonsuz küçüğe epsilon dersek epsilon/2 daha da küçük olacaktır. Bir değeri ne kadar küçültürsek küçültelim muhakkak daha küçüğünü bulabiliriz. Bu durumu sonsuz kez devam ettirerek 2 sayısına yaklaşmaya devam edersek ve fonksiyonda bu şekilde başka bir sayıya veya sonsuza yaklaşıyor ise o değer fonksiyonun 2 noktasındaki limiti olur. Tabi bazen de fonksiyon bu şekilde bir davranış göstermezse ve bir değere yaklaşmaz ise fonksiyonun 2 noktasında limiti yoktur. f(x)=x fonksiyonunda x, 2 ye yaklaşırken f(x) de 2 ye yaklaşır bu nedenle f(x) fonskiyonun 2 noktasınındaki limiti 2'dir. Şu şekilde de gösterilir :\[
\lim_{x \to 2}{f(x)}= 2
\]veya\[
\lim_{x \to 2}{x}= 2
\]Örneğin fonksiyon x^2 olsaydı x değişkeni 2 nin yakınına küçükten (soldan) (1.9, 1.99, 1.999 ..) ve büyükten (sağdan) (2.1, 2.01, 2.001) sonsuz küçük olacak şeklinde yaklaştığında f(x) değeri de 4'e sonsuz küçük olacak şekilde yaklaşacaktı. Bu durumda f(x)=x^2 nin 2 noktasındaki limiti 4 olur.\[
\lim_{x \to 2}{x^2}= 4
\]f(x)=1/x fonksiyonu olsun. x=2 ye giderken f(x) fonksiyonun değeri nereye gider ? 0.49,0.49.. ve 0.51,0501.. den sonsuz küçük olarak yaklaşıldığında 1/2 ye gideceği görülecektir.\[
\lim_{x \to 2}{1/x}= 1/2
\]Peki x sonsuza giderse 1/x nereye gider ? x değerini sürekli büyüttüğünüzde fonksiyonun değerinin hep küçüldüğünü tahmin edebilirsiniz. x ne kadar büyürse f(x) değeri o kadar küçülür. x değeri o kadar büyür ki sonuçta f(x) değeri 0 a kadar küçülür. Yani f(x)=1/x fonksiyonunun x sonsuza giderken limiti 0'dır.\[
\lim_{x \to \infty}{1/x}= 0
\]Peki x'i 0 a yaklaştırırsak ne olur ? Soldan -0.9, -0.09, -0.009 şeklinde pay küçüldüğü zaman fonksiyon - sonsuza gider. Sağdan 0.1, 0.01, 0.001.. şeklinde azaltırsak ta fonksiyon + sonsuza gider. Bu durumda iki yerden yaklaştığımızda biri başka yere öbürü başka yere gidiyor. Yani fonksiyon bir değere yaklaşmıyor. Bu nedenle f(x)=1/x fonksiyonun 0 da limiti yoktur.\[
\lim_{x \to 0}{1/x}= Limiti yok
\]Dikkat edilirse 1/x fonksiyonunda x'in nereye gittiğine göre limiti de çok farklı durumlar alıyor.

Limit ile Fonksiyonun O Noktadaki Değeri

Karıştırılan bir konuda bir fonksiyonun a noktasındaki limiti ile o fonksiyonun a noktasındaki değerinin aynı şey olduğunu zannedilmesidir. Ancak bunlar tamamen farklı kavramlardır. Tabi ki çoğu fonksiyonda limit ile fonksiyonun o noktadaki değeri aynıdır. Örneğin f(x)=x, f(x)=x^2 fonksiyonlarında her zaman bu şekildedir. Ama her fonksiyon için bu geçerli olmayabilir. Örneğin\[
f(x)={x^2-1}/(x-1)
\]fonksiyonun x=1 de bir tanımı ve değeri yoktur. Çünkü payda 0 olmaktadır ve tanımsızdır. Ancak fonksiyonun x, 1'e giderken limiti vardır ve değeri 2'dir.
Bir başka örnek de ise x=1 deki fonksiyonun değeri tanımlı olabilir ama limite eşit olmayabilir.\[
f(x)=\begin{cases}
{x^2-1}/(x-1) | x \ne 1 \\
3 | x=1 \\
\end{cases}
\]Örneğin bu fonksiyon için x=1 de f(x)=3 olacaktır. Ancak x, 1'e giderken fonksiyonun limiti 1'dir. Görüldüğü gibi eşit de değildir.
Bu nedenle limit ile bir fonksiyonun o noktadaki değeri kavramı tamamen farklı kavramlardır ve karıştırılmaması gerekir.

Limitin delta ve epsilon ile Matematiksel Tanımı

Limiti anlatırken x değerinin bir sayıya sonsuz küçük yaklaşırken, fonksiyonun değerinin de bir sayıya sonsuz küçük yaklaştığından bahsedilmiştir. Bu mantığı kullanarak limit matematiksel olarak tanımlanır. Tanım şu şekildedir :
Her \(\epsilon\)(epsilon) değeri için en az bir \(\delta\)(delta) varsa ve aşağıdaki koşul sağlanıyorsa\[
|x−a|<\delta\\
|f(x)−L|<\epsilon
\]L değeri f(x) fonksiyonun a noktasındaki limitidir ve aşağıdaki gibi gösterilir :\[
\lim_{x \to a}{f(x)}= L
\]Burada bahsedilen epsilon ve delta işaretleri sonsuz küçük bir ifadeyi simgeler. Birbirine bağlıdır. Delta değeri küçüldükçe yine sonsuz küçük epsilonun bulunabileceğini söyler. Bu da x değerinin bir sayıya sonsuz küçük yaklaşırken, fonksiyonun değerinin de bir sayıya sonsuz küçük yaklaştığının söylenmesinin bir yolundan başka bir şey değildir.
Örneğin f(x)=xfonksiyonu için bu teorimi kullanarak limitin 2 olduğunu ispatlayalım.\[
|x−a|<\delta\\
|f(x)−L|<\epsilon
\]ifadesinde f(x) yerine x yazalım ve a ve L yerine de 2 diyelim.\[
|x−2|<\delta\\
|x−2|<\epsilon
\]Görüldüğü gibi delta ile epsilon aynı çıktı. Yani x, 2 ye delta kadar yaklaşırsa fonksiyonun değeri de 2 ye o kadar yaklaşıyor. Bu nedenle x, 2 ye giderken fonksiyonun limiti 2 oluyor.
Başka bir örnek yapalım.\[
\lim_{x \to 1}{3x-1}= 2
\]Olduğu tanıma göre ispatlayalım.\[
|(3x-1)−2|<\epsilon\\
|(3x-3|<\epsilon\\
3|(x-1)|<\epsilon\\
|x-1|<\epsilon/3
\]Tanım gereği\[
|x−1|<\delta\\
\]olduğunu biliyorsak\[
\delta = \epsilon/3
\]
olacaktır her zaman. Yani x her delta sonsuz küçük yaklaşmasında, fonksiyon 1 değerine o değerin üç katı daha fazla yaklaşacaktır. Çünkü delta = epsilon / 3'tür. Sonuç olarak limit 1 olmalıdır.
Sonuç olarak limit kavramı, x bir değere soldan ve sağdan sonsuz küçükler şeklinde yaklaştığında , fonksiyonun nasıl davrandığıyla ve bir değere sonsuz küçük şekilde yaklaşıp yaklaşmadığıyla ilgilidir. Ne sınırı olması ne de bir yere hiç bir zaman yaklaşamaması gibi bir anlama gelmez. Ek olarak bir noktadaki limit ile fonksiyonun o noktadaki değeri tamamen farklı kavramlardır ve karıştırılmaması gerekir.