Öncelikle limit sözcüğünün sözcük anlamı ile matematikteki limit kavramı aynı şey değildir. Sözlük anlamında limit bir değerin aşamayacağı sınırı belirtir. Halbuki matematikteki limit, bir fonksiyonun bir noktada aşamayacağı bir sınırı veya yaklaşamayacağı bir noktayı belirtmesi gerekmiyor. Farklı bir anlamı var.
Örneğin en basit fonksiyon f(x)=x (veya y=x şeklinde de yazabiliriz) düşünelim. x=2 noktasında limit 2'dir. Ancak f(x) fonksiyonunun 2'e yaklaşamadığı veya 2'nin bir sınır olduğu gibi durum yok ortada. Fonksiyon 1, 1.9, 1.99 şeklinde gelip 2 değerini alıp 2.1, 2.2, .. şeklinde yoluna devam ediyor. Ortada fonksiyon açısından ne bir sınır var ne de yaklaşamadığı bir yer.
Bir değişkenimiz olsun. Değişkenin değeri bir sayının sonsuz küçük yakınına kadar yaklaştırınca o değişkene bağlı olan değişken veya fonksiyonun değeri nereye yaklaşıyor ? Veya hiç bir yere yaklaşmıyor mu ? İşte matematikte limit konusu bu sorunun cevabını arar. Değişken bir sayıya değil - ve + sonsuza yaklaşırken de fonksiyonun nasıl davrandığı yine limit ile öğrenilir.
Örneğin yukarıdaki fonksiyon için (f(x)=x) x değerini 2 sayısına sonsuz küçük olacak şekilde yaklaştırabiliriz. Sonsuz küçük yaklaştırdıktan sonra fonksiyonun değerine bakarız. Sonsuz küçüğün daha küçüğü her zaman vardır. Örneğin sonsuz küçüğe epsilon dersek epsilon/2 daha da küçük olacaktır. Bir değeri ne kadar küçültürsek küçültelim muhakkak daha küçüğünü bulabiliriz. Bu durumu sonsuz kez devam ettirerek 2 sayısına yaklaşmaya devam edersek ve fonksiyonda bu şekilde başka bir sayıya veya sonsuza yaklaşıyor ise o değer fonksiyonun 2 noktasındaki limiti olur. Tabi bazen de fonksiyon bu şekilde bir davranış göstermezse ve bir değere yaklaşmaz ise fonksiyonun 2 noktasında limiti yoktur. f(x)=x fonksiyonunda x, 2 ye yaklaşırken f(x) de 2 ye yaklaşır bu nedenle f(x) fonskiyonun 2 noktasınındaki limiti 2'dir. Şu şekilde de gösterilir :\[
\lim_{x \to 2}{f(x)}= 2
\]veya\[
\lim_{x \to 2}{x}= 2
\]Örneğin fonksiyon x^2 olsaydı x değişkeni 2 nin yakınına küçükten (soldan) (1.9, 1.99, 1.999 ..) ve büyükten (sağdan) (2.1, 2.01, 2.001) sonsuz küçük olacak şeklinde yaklaştığında f(x) değeri de 4'e sonsuz küçük olacak şekilde yaklaşacaktı. Bu durumda f(x)=x^2 nin 2 noktasındaki limiti 4 olur.\[
\lim_{x \to 2}{x^2}= 4
\]f(x)=1/x fonksiyonu olsun. x=2 ye giderken f(x) fonksiyonun değeri nereye gider ? 0.49,0.49.. ve 0.51,0501.. den sonsuz küçük olarak yaklaşıldığında 1/2 ye gideceği görülecektir.\[
\lim_{x \to 2}{1/x}= 1/2
\]Peki x sonsuza giderse 1/x nereye gider ? x değerini sürekli büyüttüğünüzde fonksiyonun değerinin hep küçüldüğünü tahmin edebilirsiniz. x ne kadar büyürse f(x) değeri o kadar küçülür. x değeri o kadar büyür ki sonuçta f(x) değeri 0 a kadar küçülür. Yani f(x)=1/x fonksiyonunun x sonsuza giderken limiti 0'dır.\[
\lim_{x \to \infty}{1/x}= 0
\]Peki x'i 0 a yaklaştırırsak ne olur ? Soldan -0.9, -0.09, -0.009 şeklinde pay küçüldüğü zaman fonksiyon - sonsuza gider. Sağdan 0.1, 0.01, 0.001.. şeklinde azaltırsak ta fonksiyon + sonsuza gider. Bu durumda iki yerden yaklaştığımızda biri başka yere öbürü başka yere gidiyor. Yani fonksiyon bir değere yaklaşmıyor. Bu nedenle f(x)=1/x fonksiyonun 0 da limiti yoktur.\[
\lim_{x \to 0}{1/x}= Limiti yok
\]Dikkat edilirse 1/x fonksiyonunda x'in nereye gittiğine göre limiti de çok farklı durumlar alıyor.
Limit ile Fonksiyonun O Noktadaki Değeri
Karıştırılan bir konuda bir fonksiyonun a noktasındaki limiti ile o fonksiyonun a noktasındaki değerinin aynı şey olduğunu zannedilmesidir. Ancak bunlar tamamen farklı kavramlardır. Tabi ki çoğu fonksiyonda limit ile fonksiyonun o noktadaki değeri aynıdır. Örneğin f(x)=x, f(x)=x^2 fonksiyonlarında her zaman bu şekildedir. Ama her fonksiyon için bu geçerli olmayabilir. Örneğin\[
f(x)={x^2-1}/(x-1)
\]fonksiyonun x=1 de bir tanımı ve değeri yoktur. Çünkü payda 0 olmaktadır ve tanımsızdır. Ancak fonksiyonun x, 1'e giderken limiti vardır ve değeri 2'dir.
Bir başka örnek de ise x=1 deki fonksiyonun değeri tanımlı olabilir ama limite eşit olmayabilir.\[
f(x)=\begin{cases}
{x^2-1}/(x-1) | x \ne 1 \\
3 | x=1 \\
\end{cases}
\]Örneğin bu fonksiyon için x=1 de f(x)=3 olacaktır. Ancak x, 1'e giderken fonksiyonun limiti 1'dir. Görüldüğü gibi eşit de değildir.
Bu nedenle limit ile bir fonksiyonun o noktadaki değeri kavramı tamamen farklı kavramlardır ve karıştırılmaması gerekir.Limitin delta ve epsilon ile Matematiksel Tanımı
Limiti anlatırken x değerinin bir sayıya sonsuz küçük yaklaşırken, fonksiyonun değerinin de bir sayıya sonsuz küçük yaklaştığından bahsedilmiştir. Bu mantığı kullanarak limit matematiksel olarak tanımlanır. Tanım şu şekildedir :
Her \(\epsilon\)(epsilon) değeri için en az bir \(\delta\)(delta) varsa ve aşağıdaki koşul sağlanıyorsa\[
|x−a|<\delta\\
|f(x)−L|<\epsilon
\]L değeri f(x) fonksiyonun a noktasındaki limitidir ve aşağıdaki gibi gösterilir :\[
\lim_{x \to a}{f(x)}= L
\]Burada bahsedilen epsilon ve delta işaretleri sonsuz küçük bir ifadeyi simgeler. Birbirine bağlıdır. Delta değeri küçüldükçe yine sonsuz küçük epsilonun bulunabileceğini söyler. Bu da x değerinin bir sayıya sonsuz küçük yaklaşırken, fonksiyonun değerinin de bir sayıya sonsuz küçük yaklaştığının söylenmesinin bir yolundan başka bir şey değildir.
Örneğin f(x)=xfonksiyonu için bu teorimi kullanarak limitin 2 olduğunu ispatlayalım.\[
|x−a|<\delta\\
|f(x)−L|<\epsilon
\]ifadesinde f(x) yerine x yazalım ve a ve L yerine de 2 diyelim.\[
|x−2|<\delta\\
|x−2|<\epsilon
\]Görüldüğü gibi delta ile epsilon aynı çıktı. Yani x, 2 ye delta kadar yaklaşırsa fonksiyonun değeri de 2 ye o kadar yaklaşıyor. Bu nedenle x, 2 ye giderken fonksiyonun limiti 2 oluyor.
Başka bir örnek yapalım.\[
\lim_{x \to 1}{3x-1}= 2
\]Olduğu tanıma göre ispatlayalım.\[
|(3x-1)−2|<\epsilon\\
|(3x-3|<\epsilon\\
3|(x-1)|<\epsilon\\
|x-1|<\epsilon/3
\]Tanım gereği\[
|x−1|<\delta\\
\]olduğunu biliyorsak\[
\delta = \epsilon/3
\]
olacaktır her zaman. Yani x her delta sonsuz küçük yaklaşmasında, fonksiyon 1 değerine o değerin üç katı daha fazla yaklaşacaktır. Çünkü delta = epsilon / 3'tür. Sonuç olarak limit 1 olmalıdır.
Sonuç olarak limit kavramı, x bir değere soldan ve sağdan sonsuz küçükler şeklinde yaklaştığında , fonksiyonun nasıl davrandığıyla ve bir değere sonsuz küçük şekilde yaklaşıp yaklaşmadığıyla ilgilidir. Ne sınırı olması ne de bir yere hiç bir zaman yaklaşamaması gibi bir anlama gelmez. Ek olarak bir noktadaki limit ile fonksiyonun o noktadaki değeri tamamen farklı kavramlardır ve karıştırılmaması gerekir.