Fonksiyonların Limiti Tektir

\[
\lim_{x \to a}{f(x)}= L \\
\lim_{x \to a}{f(x)}= M
\]olsun. İfadeden de anlaşılabileceği gibi aynı fonksiyonların aynı noktalar için iki farklı limit değerinin olduğunu kabul edelim ve bunu

L ≠  M

Eşitliği ile gösterelim. Öyle ki limit tanımını kullanarak şu iki bağıntıyı yazabiliriz.\[
0 < | x - a | < δ1 ⇒ | f(x) - L | < ε \\
0 < | x - a | < δ 2 ⇒ | f(x) - M | < ε
\]Yukarıdaki bu iki ifadenin gerçekliği limit tanımından yola çıkarak yapılmıştır.
Şimdi kabülümüze göre L ≠ M olduğundan öyle ki\[
0 < | L - M |
\]olduğu apaçıktır. Çünkü L ve M farklı değerlere sahipse farklarının mutlağı mutlaka sıfırdan büyük olmalıdır. Şimdi ispatımızı yapabilmemiz için benzetme ve üçgen eşitsizliği yapmamız gerekecek
| L - M | ifadesinde mutlağın içine f(x) ekler ve çıkartırsak sonucun değişmeyeceği apaçıktır.
0 < | L - M + f(x) - f(x) | ise üçgen gruplandırma yaparak şöyle bir üçgen eşitsizliği kurabiliriz.\[
0 < | L - M | \\
| L - M + f(x) - f(x) | ≤ | f(x) - L | + | f(x) - M | < ε + ε = 2ε
\]Kurduğumuz bu eşitlikte ε larımızı sıfıra çok ama çok yakın noktalarda seçebiliriz. Öyle ki seçeceğimiz ε lar sıfıra çok yakın değerler olduğunda yukarıdaki üçgen eşitsizliği aşağıdaki gibi bir ifadeye benzeyecektir.\[
0 < | L - M | ≤ 0
\]
| L - M | ifadesi hem sıfırdan büyük hem de sıfırdan küçük olabiliyorsa sıkıştırma teoremini kullanarak | L - M | ifadesi 0'a eşittir deriz.
| L - M | = 0 ise L = M dir.
Lakin problemi cevaplandırırken L ≠ M olduğunu kabul etmiştik.
Sonuç: Çelişki
Sonuç: Limit değeri yeganedir