Kombinasyon

Tanım: n elemanlı bir gruptan , sıra gözetmeksiniz n'den küçük sayıda eleman seçilerek oluşturulan gruplar. Örneğin a, b, c gibi üç elemanlı bir grubun iki elemanlı kombinasyonları {a,b} , {a,c} , {b,c} şeklindedir. {b,c} ile {c,b} aynı kombinasyondur çünkü sıra önemli değildir. Bir n elemanlı grubun, r elemanlı kombinasyonlarının sayısı \(\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}\) şeklinde bulunur ve C(n,r) şeklinde gösterilir

---

Permütasyon

Tanım: n elemanlı bir gruptan, n den küçük sayıda eleman sıralı bir şekilde seçilerek oluşturulan gruplar. Örneğin a, b, c gibi üç elemanlı bir grubun iki elemanlı permütastonları {a,b} , {a,c} , {b,c} , {b, a} , {c, a} , {c, b} şeklindedir. Permütasyonda sıra önemlidir ve aynı elemanların değişik sırası da sayılmaktadır. Bir n elemanlı grubun, r elemanlı permütasyonlarının sayısı \(\frac{n!}{(n-r)!}\) şeklinde bulunur ve P(n,r) şeklinde gösterilir

---

Tekrarlı Permütasyon

Tanım: İçinde en az iki elemanın aynı olduğu n elemanlı bir gruptan, r elemanlı sıralı bir şekilde seçilerek oluşturulan gruplar. Bu şekildeki tekrar eden grupları içeren permütasyona tekrarlı permütasyon adı verilir. N elemanlı gruptan oluşan grupların bazıları aynı eleman içermesinden dolayı aynı olacaktır. Örneğin iki A (birine A1 diğerine A2 denilebilir) ve bir B harfinden oluşan iki harfli sözcükler : A1A2, A1B, A2A1, A2B, BA1, BA2 şeklindedir. A1A2=A2A1 (AA), BA1=BA2 (BA), A1B=A2B (AB) değerlerinin yazımı aslında aynıdır. Özdeş n tane nesnenin farklı dizilişlerinin sayısı \(\frac{n!}{(n1! n2! .. nr!)}\) şeklindedir.

---

Saymanın Temel Kuralı - Saymanın Temel ilkesi - Genel Çarpım Kuralı

Saymanın temek kuralı (ilkesi veya prensibi) aşağıdaki gibi belirtilebilir:
Bir kümenin n elemanı, başka bir kümenin içinde m adet eleman var ise , ilk elemanı ilk kümeden, ikinci elemanı ikinci kümeden olan kümenin n x m adet elemanı oluşabilir. Örneğin {a,b,c} ile {1,2} kümesi için {a,1}, {a,2}, {b,1}, {b,2}, {c,1}, {c,2} şeklinde 6 adet farklı eleman olabilir.
Örneğin br A şehrinden B şehrine 5 yolla gidiliyor ise, B şehrinden C şehrine de 3 yolla gidiliyor ise, A dan C giden kişi , B den geçmesi koşuluyla 5 * 3 = 15 farklı yolla gidebilir.
Örneğin bir sınıfta 9 kız, 10 erkek ver ise bu sınıftan bir erkek ile bir kızdan oluşan 90 farklı çift yapılabilir.

---

Tekrarlı Permütasyon Formülünü Çıkarılması

İçinde en az iki elemanın aynı olduğu n elemanlı bir gruptan, r elemanlı sıralı bir şekilde seçilerek oluşturulan grupların sayısı \(\frac{n!}{(n1! n2! .. nr!)}\) şeklindedir.
Örneğin iki A (birine A1 diğerine A2 denilebilir) ve bir B harfinden oluşan iki harfli sözcükler : A1A2, A1B, A2A1, A2B, BA1, BA2 şeklindedir. A1A2=A2A1 (AA), BA1=BA2 (BA), A1B=A2B (AB) değerlerinin yazımı aslında aynıdır.
Öncelikle aynı elemanların her birini farklı bir elamanmış gibi düşünülebilir. Bu durumda oluşacak ihtimal saymanın temel kuralına göre n!'dir. Bu konu saymanın temel ilkesi adıyla bilinmektedir : www.fibiler.com/Saymanin-Temel-Kurali-Saymanin-Temel-ilkesi-Genel-Carpim-Kurali_Veri_25847 adresine bakabilirsiniz.
Örneğin bir eleman grup içinde n kere tekrar ediyorsa her sıralı gelme olasılığını bir kabul etmemiz gerekir. Yani A1-A2 ile A2-A1 her zaman aynıdır ve A-A şeklindedir. Eleman üç kere tekrarlı olsaydı A1A2A3, A1A3A2, A2A1A3, A2A3A1, A3A1A2, A3A2A1 şeklinde 3! kadar ihtimal aslında hep A A A sırasını vermesinden dolayı dikkate alınmaması gerekir. Bunun için toplam değer 3! e bölünerek bu değerler bire indirilmelidir. Bu düşünceyi genel yazarsak n1 tanesi 1.tür eleman, n2 tanesi ikinci tür eleman gibi düşünülerek paydaya yerleştirilir :
\[\frac{n!}{(n1! n2! .. nr!)}\]
Örneğin iki A ve bir B den iki harflilerin sayısı:
\[\frac{n!}{(n1! n2! .. nr!)} \\
\frac{3!}{(1! 2!)} \\
\frac{6}{(2)} \\
3
\]
şeklinde bulunabilir. Değerler AA, AB ve BA şeklindedir.

---

Kombinasyon Sayısının Bulunması

n elemanlı bir grubun, r elemanlı kombinasyonlarının sayısı aşağıdaki formüller bulunur:
\[
C(n,r)=\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}
\]
Örneğin 5 elemanlı bir grubun, 2 elemanlı kombinasyonların sayısı aşağıdaki hesaplanır:
\[
\begin{array}{rcl}
C(5,2) &=& \frac{5!}{(5-2)! \cdot 2!} \\
C(5,2) &=& \frac{5!}{3!2!} \\
C(5,2) &=& \frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1} \\
C(5,2) &=& 10 \\
\end{array}
\]
5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı kombinasyonlarının sayısı 10'dur.
Örneğin {a,b,c,d,e} grubunun 2'li kombinasyonları aşağıdaki gibidir:
{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e}

---

Permütasyon Sayısının Bulunması

n elemanlı bir grubun r elemanlı permütasyonlarının sayısı aşağıdaki formüller bulunur:
\[
\frac{n!}{(n-r)!}
\]
Örneğin 5 elemanlı bir grubun, 2 elemanlı permütasyonlarının sayısı aşağıdaki hesaplanır:
\[
\begin{array}{rcl}
P(5,2) &=& \frac{5!}{(5-2)!} \\
P(5,2) &=& \frac{5!}{3!} \\
P(5,2) &=& \frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1} \\
P(5,2) &=& 20 \\
\end{array}
\]
5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı permütasyonlarının sayısı 20'dur.
Örneğin {a,b,c,d,e} grubunun 2'li permütasyonları aşağıdaki gibidir:
{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e}
{b,a},{c,a},{d,a},{e,a},{c,b},{d,b},{e,b},{d,c},{e,c},{e,d}

---

Permütasyon Sayısını Bulma Formülünün Çıkarılması

Permütasyon sayısı formül kullanılarak bulunur :
\[
\frac{n!}{(n-r)!}
\]
n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı listelerini bulmak için önce bir eleman seçilir. Herhangi bir elamanın gelme ihtimali n'dir. Sonra ikinci sırası için eleman seçilir. Ancak ilk eleman kullanıldığı için ikinci sırada (n-1) eleman arasından seçilebilir. Bir sonrakinde ise 3 eleman kullanıldığı için artık (n-2) eleman arasından seçim yapılır. Bu ihtimallerin peş peşe çarpımı oluşabilecek tüm ihtimallerin sayısını verir :
\[
n*(n-1)*(n-2)*....(n-(r-1))
\]
Bu konu saymanın temel ilkesi adıyla bilinmektedir : www.fibiler.com/Saymanin-Temel-Kurali-Saymanin-Temel-ilkesi-Genel-Carpim-Kurali_Veri_25847 adresine bakabilirsiniz.
Örnek yaparsak A,B,C gibi 3 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı olasılıklar şu şekilde seçilir. İlk sırada A,B,C lerden herhangi biri olabilir. Bu nedenle olasılık 3 tür:

A
B
C

İkinci sıralar için artık 2 eleman kalmıştır. Bu nedenle 2 ihtimal vardır :

AB
AC
-
BA
BC
-
CA
CB

Görüldüğü gibi önce 3, sonra 2 ihtimal vardır ve 3*2 şeklinde toplam 6 ihtimal vardır. Bu yazım aslında yukarıda bahsedilen n*(n-1)*... (n-1) den başka bir şey değildir. Benzer bir şekilde 5 elemanı bir kümenin 3 elemanlı olasılıkları 5*(5-1)*(5-2) şeklinde bulanabilir. Yani 5*4*3 = 60 ihtimal vardır.
Bu çarpı ifadesini faktöriyel içeren daha kolay hesaplanabilir bir yapıya çevrilebilir. Bunun için n*(n-1)*... (n-(r-1)) ifadesinin her iki tarafı da (n-r)*(n-r-1)*...3*2.1 şeklinde bir ifade ile çarpılır ve bölünür.
\[
\frac{n*(n-1)*... (n-r+1)* (n-r)*(n-r-1)*...3*2.1}{ (n-r)*(n-r-1)*...3*2.1}
\]
Paydaki ifade n! ifadesidir. Yani n'den başlayıp 1'e kadar çarpım devam eder. Alttaki ifadenin de aslında (n-r)!'in faktöryelidir. Yani pay n!, payda (n-r)! faktöriyel haline gelmiş olur :
\[
\frac{n!}{(n-r)!}
\]

---

Kombinasyon Sayısını Bulma Formülünün Çıkarılması

Kombinasyon sayısı formül kullanılarak bulunur :
\[
\frac{n!}{(n-r)! r!}
\]
Önce pemütasyon gibi sıralı bir şekilde ihtimalleri hesaplamak gerekir. n elemanlı bir kümenin r elemanlı listelerini bulmak için önce bir eleman seçilir. Herhangi bir elamanın gelme ihtimali n'dir. Sonra ikinci sırası için eleman seçilir. Ancak ilk eleman kullanıldığı için ikinci sırada (n-1) eleman arasından seçilebilir. Bir sonrakinde ise 3 eleman kullanıldığı için artık (n-2) eleman arasından seçim yapılır. Bu ihtimallerin peş peşe çarpımı oluşabilecek tüm ihtimallerin sayısını verir :
\[
n*(n-1)*(n-2)*....(n-(r-1))
\]
Bu konu saymanın temel ilkesi adıyla bilinmektedir : www.fibiler.com/Saymanin-Temel-Kurali-Saymanin-Temel-ilkesi-Genel-Carpim-Kurali_Veri_25847 adresine bakabilirsiniz.
Örnek yaparsak A,B,C gibi 3 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı olasılıklar şu şekilde seçilir. İlk sırada A,B,C lerden herhangi biri olabilir. Bu nedenle olasılık 3 tür:

A
B
C

İkinci sıralar için artık 2 eleman kalmıştır. Bu nedenle 2 ihtimal vardır :

AB
AC
-
BA
BC
-
CA
CB

Görüldüğü gibi önce 3, sonra 2 ihtimal vardır ve 3*2 şeklinde toplam 6 ihtimal vardır. Bu yazım aslında yukarıda bahsedilen n*(n-1)*... (n-1) den başka bir şey değildir. Benzer bir şekilde 5 elemanı bir kümenin 3 elemanlı olasılıkları 5*(5-1)*(5-2) şeklinde bulanabilir. Yani 5*4*3 = 60 ihtimal vardır.
Bu çarpı ifadesini faktöriyel içeren daha kolay hesaplanabilir bir yapıya çevrilebilir. Bunun için n*(n-1)*... (n-(r-1)) ifadesinin her iki tarafı da (n-r)*(n-r-1)*...3*2.1 şeklinde bir ifade ile çarpılır ve bölünür.
\[
\frac{n*(n-1)*... (n-r+1)* (n-r)*(n-r-1)*...3*2.1}{ (n-r)*(n-r-1)*...3*2.1}
\]
Paydaki ifade n! ifadesidir. Yani n'den başlayıp 1'e kadar çarpım devam eder. Alttaki ifadenin de aslında (n-r)!'in faktöryelidir. Yani pay n!, payda (n-r)! faktöriyel haline gelmiş olur :
\[
\frac{n!}{(n-r)!}
\]
Ancak bu permütasyon formülüdür. Çünkü sıra önemlidir. Halbuki kombinasyonda sıra önemli değildir. Örneğin AB ile BA veya CB ile BC aslında aynı şeydir. Bu nedenle bu ihtimallerden sadece biri alınması gerekir. Örneğin A ve B gibi 2 eleman için farklı sıralı ihtimaller 2*1 (2!) ile bulunur. Eğer A,B,C gibi üç eleman olsaydı 3*2*1=6 (3!) farklı sıralama olabilirdi :

ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

Görüldüğü gibi permüstasyona göre 6 farkı ifade kombinasyona göre aslında tek bir seçenektir. Bu nedenle permütasyon formülü r! değerine bölünerek fazla ihtimaller elenmiş olacaktır.
\[
\frac{n!}{(n-r)! r!}
\]
Örneğin 3 elemanının 2'li permütasyonu 6'dir :

AB
AC
-
BA
BC
-
CA
CB

Ancak dikkat edileceği gibi AB~BA, AC~CA ve BC~CB aynısıdır. 6 / 2! yapılırsa değer 3'e iner. Yani 3 elemanın 2'li kombinasyonu 3'tür :

{A,B}
{A,C}
{B,C}

---

Kombinasyon ile Permütasyonun Farkı

Kombinasyon ile permütasyon bir grup eleman içinden belirli adet eleman seçilerek oluşturulan alt gruplardır.



Aralarındaki tek fark kombinasyonda alt gruplarda sıranın önemli olmamasıdır. Permütasyonlarda ise seçime ek olarak sırada önemlidir.



Örneğin bir sınıfta öğrenciden 3'erli deney grupları oluşturmak isterseniz sıranın önemli olmamasından dolayı kombinasyon yapmış olursunuz. Aslında burada 3'lü küme oluşturmuş olursunuz. Çünkü kümelerde sıranın önemi yoktur. Ancak öğrencileri bir yarışa sokarsanız ve ilk üçe girme seçeneklerini bulmak isterseniz sıra önemli olacaktır. İlk üçe girmek yetmez. Birinci ile üçüncü olmak tamamen farklı durumlardır. Örneğin kombinasyonda tek bir kere seçilen A,C,B öğrencileri permütasyonda 1. A 2. B 3. C veya 1. A 2. C 3. B veya 1. B,2. A,3. C vb.. gibi farklı durumları oluşacaktır.
Kombinasyon ile permütasyonu karıştırmamak için aşağıdaki gibi düşünebilirsiniz:

Kombinasyon ~ küme
permütasyonu ~ altın, gümüş, bronz gibi bir sıra



olarak ters bir şekilde düşünerek hatırlayabilirsiniz.

---