Kombinasyon sayısı formül kullanılarak bulunur :
\[
\frac{n!}{(n-r)! r!}
\]
Önce pemütasyon gibi sıralı bir şekilde ihtimalleri hesaplamak gerekir. n elemanlı bir kümenin r elemanlı listelerini bulmak için önce bir eleman seçilir. Herhangi bir elamanın gelme ihtimali n'dir. Sonra ikinci sırası için eleman seçilir. Ancak ilk eleman kullanıldığı için ikinci sırada (n-1) eleman arasından seçilebilir. Bir sonrakinde ise 3 eleman kullanıldığı için artık (n-2) eleman arasından seçim yapılır. Bu ihtimallerin peş peşe çarpımı oluşabilecek tüm ihtimallerin sayısını verir :
\[
n*(n-1)*(n-2)*....(n-(r-1))
\]
Bu konu saymanın temel ilkesi adıyla bilinmektedir :
www.fibiler.com/Saymanin-Temel-Kurali-Saymanin-Temel-ilkesi-Genel-Carpim-Kurali_Veri_25847 adresine bakabilirsiniz.
Örnek yaparsak A,B,C gibi 3 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı olasılıklar şu şekilde seçilir. İlk sırada A,B,C lerden herhangi biri olabilir. Bu nedenle olasılık 3 tür:
A
B
C
İkinci sıralar için artık 2 eleman kalmıştır. Bu nedenle 2 ihtimal vardır :
AB
AC
-
BA
BC
-
CA
CB
Görüldüğü gibi önce 3, sonra 2 ihtimal vardır ve 3*2 şeklinde toplam 6 ihtimal vardır. Bu yazım aslında yukarıda bahsedilen n*(n-1)*... (n-1) den başka bir şey değildir. Benzer bir şekilde 5 elemanı bir kümenin 3 elemanlı olasılıkları 5*(5-1)*(5-2) şeklinde bulanabilir. Yani 5*4*3 = 60 ihtimal vardır.
Bu çarpı ifadesini faktöriyel içeren daha kolay hesaplanabilir bir yapıya çevrilebilir. Bunun için n*(n-1)*... (n-(r-1)) ifadesinin her iki tarafı da (n-r)*(n-r-1)*...3*2.1 şeklinde bir ifade ile çarpılır ve bölünür.
\[
\frac{n*(n-1)*... (n-r+1)* (n-r)*(n-r-1)*...3*2.1}{ (n-r)*(n-r-1)*...3*2.1}
\]
Paydaki ifade n! ifadesidir. Yani n'den başlayıp 1'e kadar çarpım devam eder. Alttaki ifadenin de aslında (n-r)!'in faktöryelidir. Yani pay n!, payda (n-r)! faktöriyel haline gelmiş olur :
\[
\frac{n!}{(n-r)!}
\]
Ancak bu permütasyon formülüdür. Çünkü sıra önemlidir. Halbuki kombinasyonda sıra önemli değildir. Örneğin AB ile BA veya CB ile BC aslında aynı şeydir. Bu nedenle bu ihtimallerden sadece biri alınması gerekir. Örneğin A ve B gibi 2 eleman için farklı sıralı ihtimaller 2*1 (2!) ile bulunur. Eğer A,B,C gibi üç eleman olsaydı 3*2*1=6 (3!) farklı sıralama olabilirdi :
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Görüldüğü gibi permüstasyona göre 6 farkı ifade kombinasyona göre aslında tek bir seçenektir. Bu nedenle permütasyon formülü r! değerine bölünerek fazla ihtimaller elenmiş olacaktır.
\[
\frac{n!}{(n-r)! r!}
\]
Örneğin 3 elemanının 2'li permütasyonu 6'dir :
AB
AC
-
BA
BC
-
CA
CB
Ancak dikkat edileceği gibi AB~BA, AC~CA ve BC~CB aynısıdır. 6 / 2! yapılırsa değer 3'e iner. Yani 3 elemanın 2'li kombinasyonu 3'tür :
{A,B}
{A,C}
{B,C}
