Sürekliliğin Tanımı

f: D(f) ⊆ IR → IR olarak tanımlı bir fonksiyon olmak üzere ꓯ a ∈ D(f) olsun.
Eğer ki\[
\lim_{x \to a}{f(x)}
\]ifadesinin limiti var ve bu limit f(a) değerine eşit ise f fonksiyonuna a noktasında sürekli fonksiyon denir.

Örnek

sin(x) fonksiyonunun her a değeri için IR üzerinde sürekli olduğunu gösteriniz.
Öncelikle verilen ifadenin sürekliliğini göstermeden önce aşağıdaki iki özelliğin varlığını bilmemiz gerekmektedir.

Özellik 1

\[
sin(α) - sin(β) = 2 ( sin( (α - β) / 2 )( cos( (α + β) / 2 )
\]

Özellik 2

\[
| sin(α) | / | α | ≤ 1 ⇒ | sin(α) | ≤ | α |
\]

Sürekliliğin Gösterimi

ꓯε > 0 için öyle ki ꓱδ > 0 olacak şekilde bazı δ değerleri vardır öyle ki,\[
| x - a | < δ ⇒ | sin(x) - sin(a) | < ε
\]olduğundan\[
| sin(x) - sin(a) | = | 2 ( sin( (x - a) / 2 )( cos( (x + a) / 2 ) | ≤ 2 | (x - a) / 2 | < ε
\]
⇒ 2 | (x - a) / 2 | < ε olduğundan | (x - a) | < ε olur.
öyle ki δ = ε olacak biçimde bir epsilon değer seçebiliriz.
İspat Tamamlandı.